Quelques lois de résistance des matériaux

Hypothèses de la RDM :

  • Le matériau est homogène et isotrope
  • Les pièces sont assimilables à des poutres
  • Les actions mécaniques sont comprises dans le plan de symétrie de la poutre ou sont symétriques par rapport à celui-ci
  • Les déformations sont faibles donc on suppose que les points d’application des forces ne bougent pas après déformation.

Torseur de cohésion d’une poutre :

rdm

Traction – compression :

σ = N/S

σ = E*a

Avec :

N : effort normal en Newton

S : surface de la section en m²

E : module de Young en Pa

a = Δl/l : allongement relatif

σ : contrainte normale

Il ne reste plus qu’à comparer σ avec σe (contrainte limite de comportement élastique) et σr (contrainte de rupture) ainsi que les contraintes du cahier des charges

Cisaillement :
τ = T/S

τ = G*γ

Avec :

T : effort tranchant en Newton

S : surface de la section en m²

G : module de Coulomb en Pa

γ = Δy/Δx : glissement transversal relatif

τ : contrainte tangentielle

Il ne reste plus qu’à  comparer τ avec τe (contrainte limite de comportement élastique) et τr (contrainte de rupture) ainsi que les contraintes du cahier des charges

Torsion :

Torsion

Les moments quadratiques de différents profilés sont donnés par les différents fournisseurs.

τ = d*Mt/IG

Mt = G*θ*IG

Avec :

Mt : moment de torsion en Nm

d : distance au centre de la section (distance la plus éloignée du centre de préférence)

IG : moment quadratique polaire de la section en m4

G : module de Coulomb en Pa

θ = α/x : angle de torsion unitaire en rad/m

Il ne reste plus qu’à  comparer τ avec τe (contrainte limite de comportement élastique) et τr (contrainte de rupture) ainsi que les contraintes du cahier des charges

Flexion :

flexion

Les moments quadratiques de différents profilés sont donnés par les différents fournisseurs.

Les formules sont faites à partir de la configuration suivante :

flexion 2

σ = -y*Mfz/IGz

Mfz = E*f »*IGz

Avec :

Mfz : moment de flexion en Nm

IGz : moment quadratique de la section par rapport à l’axe (Gz) en m4

y : distance par rapport à l’axe (Gz) en m

E : module de Young en Pa

f : flèche (écart verticale par rapport à la position sans sollicitation) en m

f » : dérivée seconde de la flèche par rapport à l’abscisse x

Pour obtenir l’expression de la flèche, on intègre deux fois la formule précédente. Les constantes qui apparaissent lors des intégrations sont déterminées grâce aux conditions limites.

Il ne reste plus qu’à comparer σ avec σe (contrainte limite de comportement élastique) et σr (contrainte de rupture) ainsi que les contraintes du cahier des charges

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